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中國古代數學泰斗,割圓術的創立者,被譽為中國數學史上的牛頓

2021-11-23  百家雜評

魏晉時期,中國處于三國割據狀態,頻繁地戰亂給百姓帶來苦難之余,卻讓當時思想特別活躍,猶如數百年前的百家爭鳴一般。開明的社會氛圍,思辨的社會風氣,也讓中國古代數學迎來了第二次高峰。如果說中國古代數學第一次高峰以《九章算術》為代表,那么第二次高峰的開啟就是以劉徽的《九章算術注》與《海島算經》為代表。

那么,劉徽到底是何許人也?鮮為人知的是,劉徽是魏晉時期大數學家,與孫權、劉禪等人處于同一時代,中國古代第二次數學高峰的開啟者,還與古希臘大數學家阿基米德用同一種辦法不約而同的解開同一道難題。由于劉徽在數學上的巨大成就,所以不少書上把他稱作“中國數學史上的牛頓”。

與古希臘幾何突然興盛、缺少起源發展環節不同,中國古代數學可謂一步一個腳印,新石器時代遺存以及甲骨文記載,都說明早在周朝之前,中國古人已經發明十進位置制,以及能夠進行四則運算。由于掌握了一定代數與幾何知識,所以上古人類才能制定歷法、丈量土地、測算山谷、計算產出、制造陶器等。

在距今8000年—4800年的甘肅天水大地灣遺址中,出土了四只不同形狀的陶器,條形盤的容積約為264.3立方厘米,鏟形容積約為2650.7立方厘米,箕形容積約為5288.4立方厘米,深腹罐容積約為26082.1立方厘米,除了箕形陶器是鏟形的兩倍之外,其他三種陶器大約都是十倍遞增。顯然,如果不掌握一定代數與幾何知識,古人很難做到如此精確。

周朝建立后,將“數”列為“君子六藝”之一,當然君子六藝是貴族壟斷的知識,普通平民基本接觸不到。春秋戰國時期禮崩樂壞,隨著大批諸侯被滅國,以及很多貴族破產,知識開始下移與私學的興起,九九乘法口訣、整數四則運算、分數、以及猶如今天計算器一般的籌算等開始普及,被越來越多的人掌握。

漢朝建立后,曾對先秦文化典籍進行過整理與搶救,在此過程中我國第一部數學專著《九章算術》被正式整理出來,其作者是誰已經不可考,荀子徒弟之一、李斯同學、漢初丞相張蒼曾經校正過《九章算術》。總之,《九章算術》是一部漢初之前中國數學成就的總結性書本,一部包羅萬象的數學專著,內容涵蓋幾何與代數學,其中最后一章講述的就是周初商高發現的勾股定理。

隨著時代的發展,人們發現《九章算術》存在一些錯誤,給生產生活造成了很多困惑,最典型的是圓周率,《九章算術》中提出“徑一周三”的結論,定圓周率為常數三,即圓周長是直徑長的三倍,以此作為圓面積公式的基礎

古人的“徑一周三”結論無疑是錯誤的,但解題思路卻非常聰明,反映了古人的智慧。古人在求證圓面積公式時,用圓內接正十二邊形的面積來代替圓面積,應用“出入相補原理”,再將圓內接正十二邊形拼補成一個長方形,借用長方形的面積求出圓面積。長方形是以圓內接正六邊形周長的一半作為長,以圓半徑作為高,最終推算出“徑一周三”的結論,同時由長方形的面積公式來論證《九章算術》的圓面積公式。如果摒棄掉現代數學知識,古人這種求圓面積的思路,現代人未必能想得出來。

劉徽發現,圓內接正多邊形的面積與實際圓面積,如果只用有限次數分割、拼補,那么兩者之間總會存在一個誤差,正多邊形的面積不可能100%的與圓面積一致。因此,劉徽大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明,他從圓內接正六邊形開始割圓,“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至不可割,則與圓周合體,而無所失矣。”也就是說,將圓內正多邊形不斷加倍,不斷加倍,越多誤差越小,使之無限逼近圓周,當邊數不能再加時,圓內正多邊形面積的極限就是圓面積了。

在用圓內接正多邊形逼近圓面積的過程中,圓半徑在正多邊形與圓之間會有一段余徑,想要正多邊形與圓周合體時,必然是“表無余徑”。沿著這條思路,通過大量的計算,劉徽把圓內接正多邊形的周長一直推算到了正3072邊形,求得了圓周率3927/1250(等于3.1416),這是當時世界上最精確的圓周率。

劉徽的割圓術不僅僅只是探索求圓周率的精確方法,以及計算圓周率這么簡單,更是人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數學證明,具有非同一般的意義。

南北朝時期,祖沖之在劉徽的基礎上,進一步研究了圓周率問題,將之精確到3.1415926和3.1415927之間,達到了當時數學知識能研究出的極限值,領先了世界800多年。

無獨有偶,與中國古人一樣,古希臘數學家阿基米德也采用這種辦法求圓周率,竟然與劉徽的高度相似。

公元前5世紀,古希臘學者提出了“化圓為方”的概念。公元前3世紀,古希臘數學家阿基米德指出,只要正多邊形的邊數足夠多,那么圓外切正多邊形的面積與內接正多邊形的面積之差可以任意小。阿基米德先用內接正六邊形求出圓周率的下界為3,再用外接正六邊形并借助勾股定理求出圓周率的上界小于4,然后他不斷加倍內外正多邊形,直到內接正96邊形和外接正96邊形為止,最終求出圓周率的下界和上界分別為223/71 和22/7, 并取它們的平均值3.141851 為圓周率的近似值。

與古希臘相比,中國也在很早時期就提出了“化圓為方”的概念,東西方兩個文明竟然不約而同地選擇了同一種解題思路。與阿基米德的辦法相比,劉徽提出的是不斷倍增內接的正六邊形,一直推到了正3072邊形,總體上阿基米德與劉徽創立的“割圓術”高度相似。

除了幾何領域的割圓術之外,劉徽還有很多讓人炫目的成就,甚至可以說奠定了唐宋元明清數學的基礎。

《九章算術》解開了很多世界先進的數學問題,比如分數四則運算,正負數運算,幾何圖形的體積面積計算等,但解法比較原始,也缺乏必要的證明,于是劉徽對此做了補充證明。在此過程中,劉徽最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題,同時也留下了很多開創性的成就。

在數學概念上,劉徽最早提出十進小數的概念,并用十進小數來表示無理數的立方根,還有如冪(面積),方程(線性方程組),正負數等等。在代數方面,劉徽正確地提出了加減運算的法則,改進了線性方程組的解法。在線性方程組解法中,創造了比直除法更簡便的互乘相消法,與現今解法基本一致,并第一次提出了“不定方程問題”。另外,劉徽還建立了等差級數前n項和公式等。

總之,劉徽雖然沒有寫出自成體系的數學著作,但他在注解的《九章算術》中所運用的知識,以及以邏輯推理論證數學命題的方式,其實已經形成了一個理論體系,深刻影響了后世無數學者。鑒于劉徽在數學領域的巨大貢獻,所以不少書上把他稱作“中國數學史上的牛頓”。

談及古代數學,人們往往言必稱古希臘,將之視為古代數學難以逾越的巔峰,但事實上與中國相比,古希臘只在幾何上比較輝煌,在代數上卻非常一般,而中國古代在代數與幾何上都有著非同一般的成就。

以《九章算術》來看,中國古代數學總體上并不弱于西方,如果以劉徽成就來看,當時中國代數成就要超過西方,包括古希臘時代。因此,不能因為近代以來中國落后,就貶低或否定古人的輝煌成就。

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